Passo #3 - La funzione di utilità
La gente conosce il prezzo di tutto e il valore di niente [Oscar Wilde]
Nella puntata precedente abbiamo ragionato sul modo di compiere il tragitto casa-lavoro in una piccola città. Si trattava di un'analisi piuttosto grezza, basata su stime e calcoli elementari, senza pretese di fornire risultati scientifici. Gli scopi erano altri, ovvero:
Osservare che la domanda “Quale è il mezzo migliore per spostarsi in città?” non può essere affrontata con un approccio riduzionista, perché non è corretto valutare solo i benefici in termini di tempo di viaggio, ma si deve tenere conto di molte variabili, come ad esempio salute, aspetti economici, comodità, flessibilità, eccetera
Notare che (nei limiti dell'analisi) la bicicletta risulta l'opzione più vantaggiosa per ogni giocatore, ovvero quella che permette di “vincere” al gioco del “penso solo al mio benessere, e me ne frego del prossimo”. In altre parole: la bicicletta è l'opzione più conveniente per noi stessi, anche se detestiamo ambiente e ecologia
Introdurre la funzione di utilità1, che permette di rispondere alle (giustissime) critiche del tipo “L'analisi è sbagliata, perché l'auto mi serve anche per altre cose” oppure “Io della salute me ne frego: non voglio morire sano!”
Andiamo subito a vedere come è definita la funzione di utilità. Nell'analisi originale del gioco Casa-Lavoro abbiamo tenuto conto di quattro variabili:
Tempo: tempo trascorso nel percorso casa lavoro (andata e ritorno)
Salute: potenziale impatto positivo sulla salute (ore di attività fisica)
Costo: spese di trasporto (incluso ammortamento dell'acquisto)
Flessibilità: possibilità di scegliere liberamente gli orari (comodità)
Da cui è risultato che la bicicletta è l'opzione migliore dal punto di vista “egoista”, ovvero quello che massimizza il payoff (il profitto o la vincita) del singolo soggetto. Ma questo risultato è stato ottenuto sommando i payoff “brutalmente”, cioè
Payoff = Payoff_Tempo + Payoff_Salute + Payoff_Costo + Payoff_Flessibilità
Infatti la formula qui sopra assume che tutte le variabili abbiano lo stesso peso, ovvero la stessa importanza per il soggetto che deve scegliere un'opzione di trasporto (automobile, autobus o bicicletta). In pratica è come se avessimo imposto tutti i pesi uguali ad 1, ovvero
P = 1 ∙ P_Tempo + 1 ∙ P_Salute + 1 ∙ P_Costo + 1 ∙ P_Flex
Dove abbiamo abbreviato “Payoff” con il simbolo “P” e scritto Flex al posto di Flessibilità. Per tener conto che siamo tutti diversi, cioè che ognuno di noi ha la propria personale scala di valori, dobbiamo sostituire il numero 1 con il simbolo W (weight: peso in inglese).
P = W_Tempo ∙ P_Tempo + W_Salute ∙ P_Salute + ecc
Quindi, se per Tizio il Costo è una variabile poco importante, perché avrebbe acquistato l'automobile a priori (esempio: parente invalido, famiglia numerosa ecc.), allora il suo peso della variabile Costo potrebbe essere 0.5 invece che 1. Inoltre, se per Tizio la Flessibilità è più importante degli altri criteri, allora il suo peso della variabile Flex potrebbe essere 2 anziché 1. La funzione di utilità di Tizio sarebbe quindi la seguente
U(Tizio) = 1 ∙ P_Tempo + 1 ∙ P_Salute + 0.5 ∙ P_Costo + 2 ∙ P_Flex
Al contrario, se Caio considera la Salute il fattore più importante della sua esistenza, e da anche parecchio valore al Tempo (rispetto alla norma), la sua funzione potrebbe essere
U(Caio) = 1.5 ∙ P_Tempo + 2 ∙ P_Salute + 1 ∙ P_Costo + 1 ∙ P_Flex
Siamo finalmente pronti ad azzardare una definizione formale.
Una funzione di utilità è una formula che assegna punteggi alle opzioni decisionali, riflettendo l'importanza attribuita a ciascun aspetto delle scelte. Aiuta a determinare quale opzione risulta migliore in base alle preferenze soggettive dell'individuo.
Grazie alla funzione di utilità possiamo finalmente rispondere alla domanda: “Quale è il modo migliore di spostarsi in città?”. La risposta terrà conto solo delle variabili considerate, e si basa sulle stime grossolane del Gioco Casa-Lavoro, per cui è lungi dall'essere esaustiva. Ma il problema non è il limite dell’analisi. Il vero problema è che non è facile ottenere una risposta, nemmeno approssimativa. Infatti, avendo a che fare con una funzione in quattro dimensioni, è difficile variare contemporaneamente tutti i parametri. Infatti la generica funzione di utilità di un agente X è una funzione matematica di quattro parametri, che possiamo abbreviare con t, s, c, f.
U(X) = t ∙ P_Tempo + s ∙ P_Salute + c ∙ P_Costo + f ∙ P_Flex
Di solito questi problemi si risolvono con tecniche di ottimizzazione, come ad esempio la programmazione lineare. Ma noi seguiremo un approccio più semplice: inseriamo le tabelle in un foglio di calcolo, parametrizziamo i quattro parametri e proviamo a variarli una alla volta, lasciando tutti gli altri pari ad 1. Questo perché il valore 1 rappresenta la preferenza soggettiva “attribuisco a questa variabile un valore normale”, in altre parole: “la considero importante quanto fanno in media gli altri giocatori”.
Ad esempio, facendo variare solo il peso della variabile Tempo, per rendere dominante l'opzione 1 (cioè “vado in auto”) servirebbe un peso t = 2.1 (o maggiore). Ciò significa che è giusto considerare vantaggiosa l'automobile se si reputa il fattore tempo due volte più importante di Salute, Costo e Flessibilità. Proviamo a girare la frittata e chiederci “Quanto deve fregarsene una persona della propria salute, affinché per lei sia meglio andare in auto?”, il che si traduce nella domanda “Quanto deve valere il parametro s per rendere l'opzione 1 una strategia dominante?”. In questo caso la risposta è s = 0.1 (o minore). Perciò, un ipotetico cittadino che da importanza “normale” a Tempo, Costo e Flessibilità, ma sceglie sempre la macchina, terrebbe alla propria salute dieci volte meno degli altri fattori. Questo sembra un risultato grottesco, ma potrebbe spiegare perché le malattie cardiovascolari sono ad oggi una delle prime cause di morte.
Come ultimo esempio consideriamo la variabile Costo, per dar voce a chi ragiona dicendo “La macchina mi serve comunque, quindi me ne frego del fattore ammortamento”. Facendo i calcoli, anche in questo caso servirebbe un valore c = 0.1 (o inferiore) per rendere l'opzione 1 più vantaggiosa delle altre.
Qualcuno potrebbe suggerire di migliorare l'analisi separando i costi di ammortamento (acquisto, bollo, assicurazione, manutenzione) dal costo di esercizio quotidiano (benzina). Ebbene, applicando questa modifica, il Costo medio dell'opzione 1 (automobile) passerebbe da 8€ al giorno (ammortamento) a 3€ a giorno (esercizio), ma le conclusioni resterebbero immutate. Il motivo è che la tabella di payoff del Costo è calcolata assegnando il valore 10 alla bicicletta (costo minimo) e il valore 1 all'automobile (costo massimo), perciò il fatto di variare il Costo di un'autovettura non aumenta il punteggio dell'automobile, almeno finché essa resta il mezzo più costoso dei tre (da cui il punteggio 1). L'unico effetto sarebbe quello di rendere meno conveniente l'opzione “prendo l'autobus” rispetto alle altre, che passerebbe da un punteggio 8 (quando il Costo dell’auto include l’ammortamento) ad un punteggio 5 (quando il Costo dell’auto riguarda solo l’esercizio).
Ciò non significa che la scelta di andare in auto sia sempre e sicuramente stupida, anche reputando inevitabili i costi di acquisto, bollo, assicurazione e manutenzione, perché questa indagine è comunque approssimativa. L’obbiettivo principale è quello di insegnare il metodo, e non di rivelare la verità ultima. Con questa rubrica vogliamo suggerire un approccio olistico alle questioni ambientali, spingere il lettore a porsi domande come “Mi conviene davvero andare in auto?” oppure “Quanto mi costa, tra tempo, denaro e libertà, la scelta di andare in palestra?”, o ancora “Sono sicuro di aver preso in esame tutte le variabili, nel confrontare tra loro le diverse opzioni?
Se questa vi sembra fantascienza, vi racconto cosa ho fatto quest'estate. Dovevo partecipare ad un evento a Baveno, sulla sponda occidentale del lago, ed avevo due opzioni: fare il giro del lago, o prendere il traghetto. Il costo in traghetto, con auto al seguito, è circa 20€, per un viaggio di 40 minuti (andata e ritorno). Il giro del lago invece sono 140 km (andata e ritorno), 16€ e due ore di viaggio. Come se non bastasse, avevo un altro dilemma: la domenica spesso vado a passeggiare un paio d’ore lungo la ciclabile, così ero indeciso se partecipare all'evento (e rinunciare alla camminata) oppure se tirare pacco. Come ho risolto? Semplice: ho lasciato l'auto sulla sponda orientale e preso il traghetto come pedone, spendendo 8€ anziché 20€. Poi ho camminato a piedi da Intra a Baveno, circa 12 km in 3 ore. Già che c'ero ho fatto un po' di autostop, e difatti mi hanno tirato su gli ultimi 2 km, da Feriolo a Baveno (vedi fig. 2). Poi, una volta giunto a Baveno, ho chiesto se qualcuno doveva tornare verso Intra, e mi sono fatto dare un passaggio a fine evento.
Alla fine del gioco ho preso quattro piccioni con un fava:
Ho risparmiato una decina di euro
Ho fatto la camminata domenicale su un tragitto diverso dal solito
Ho conosciuto gente positiva (l'autostop è il modo migliore di incontrare persone smart)
Ora conosco il tragitto Intra Baveno metro per metro, quindi non ho più bisogno del GPS
E, come annunciato sin dalla prima puntata, in tutto ciò non abbiamo considerato il piccione più grosso: il pianeta Terra, quello che tutti vorremmo salvare, ma giochiamo per perdere. Oppure non siamo agenti razionali?
Per semplicità ragioneremo in termini della funzione di qualità cardinale, che è quella più antica e teorica. Nella pratica odierna si preferisce parlare di qualità ordinale.